多くの博士が間違えた「モンティ・ホール問題」

モンティ・ホール問題は確率論の問題である。

モンティ・ホールが司会を務めるアメリカのゲームショー番組、「Let's make a deal」の中で行われたゲームに関する論争に由来する。 一種の心理トリックになっており、確率論から導かれる結果を説明されても、なお納得しない者が少なくないことから「直感で正しいと思える解答と、論理的に正しい解答が異なる問題」の適例とされる。

問題

プレイヤーの前に3つのドアがあって、その中の1つのドアには後ろに景品の新車（当たり）が、2つのドアにはヤギ（はずれ）がある。プレイヤーは新車（当たり）のドアを当てると新車が貰える。

プレイヤーが1つドアを選択するとモンティ（司会者）が残りの2つの内、1つ、はずれのドアを開ける。

ここでプレイヤーは最初に選んだドアを残っている開けていないドアに変更しても良いと言われる。

今回の議論点は以下のものである。

プレイヤーはこのドアを変更すべきだろうか？

この問題をニュース雑誌にて読者の質問投稿による質問に

「正解は『ドアを変更する』である。なぜなら、ドアを変更した場合には景品を当てる確率が2倍になるからだ」

と回答したところ、約1万通の投書が殺到し、1000通近い博士号保持者からのものも含まれており、この問題が知られるようになった。

まず、内容を整理する。

1. 3つのドア (A, B, C) に（景品、ヤギ、ヤギ）がランダムに入っている。
2. プレイヤーはドアを1つ選ぶ。
3. モンティは残りのドアのうち1つを必ず開ける。
4. モンティの開けるドアは、必ずヤギの入っているドアである。
5. モンティはプレーヤーにドアを選びなおしてよいと必ず言う。

この問題を巡る人々の反応は、冒頭のエピソードにある様に『どちらを選んでも変わらない』とする意見が多かった。

解説

最初の選択では当たりが出るケースは1つ、。ハズレが出るケースは2つ。上の図の様になる。

つまり最初の選択で一番選ぶ確率が多いのは、ハズレのドアということになる。

次はモンティ（司会者）がはずれのドアを開ける。

上の図の様になる。

先程解説したように最初の選択で一番選ぶ確率が多いのは、ハズレのドアだ。

ここで気づいただろうか。

そう、最初にハズレのドアを選んだ場合、変更すると必ず当たりが入っているのである。

そのまま変更せず選んだ場合、当たりを引く確率は1/3。

変更した場合は2/3。

つまり、変更した方が当たりが入っている確率は高くなる。

これは一種の心理トリックである。直感で正しいと思っても、論理的には全く違う。という例に適している。

また、こうも考える事が出来る。

1. ゲームには100枚のドアが使われる。この時、当たりの確率は1/100。
2. 次にモンティ（司会者）が残りの99枚のドアの内、98枚ハズレのドアを開ける。
3. プレイヤーは変更するかどうか問われる。

プレイヤーが選んだ100枚の内の1枚と、当たりを知っているモンティが開こうとしなかった1枚は当たりの可能性が等しくないことが分かる。

以上、解説である。

尚、これは筆者の主観的な解釈であり、必ずしもこの解説が正しいとは言えない。